Kαθαρίζουμε και πλένουμε το ψάρι και τα λαχανικά. Κόβουμε σε μέτρια κομμάτια τα καρότα, το σέλινο, τις πατάτες, το κρεμμύδι. Αφήνουμε τα κολοκυθάκια ολόκληρα και αν είναι μεγάλα τα κόβουμε στα δύο. Γεμίζουμε ως τη μέση μία κατσαρόλα με νερό και μόλις βράσει ρίχνουμε μέσα το λάδι, τα καρότα, τα κρεμμύδια και το σέλινο. Τα αφήνουμε να βράσουν 15 λεπτά περίπου και στη συνέχεια προσθέτουμε τις πατάτες, τα κολοκύθια, το ψάρι, αλάτι και πιπέρι. Μετά από μισή ώρα, όταν δούμε ότι όλα τα λαχανικά και το ψάρι είναι ψημένα, τα βγάζουμε από την κατσαρόλα με τρυπητή κουτάλα και τα σερβίρουμε σε πιατέλα. Αν θέλουμε, κρατάμε λίγα (έως και τα μισά) από τα λαχανικά και ένα κομμάτι από το ψάρι, τα πολτοποιούμε και τα ρίχνουμε μέσα στην κατσαρόλα με το ζωμό.

Τα αφήνουμε να πάρουν μία βράση και βάζουμε το ρύζι. Το αφήνουμε 15 λεπτά, μέχρι να μαλακώσει και σβήνουμε τη φωτιά. Ετοιμάζουμε το αυγολέμονο ως εξής. Χτυπάμε τους κρόκους των αυγών και χωρίς αν σταματήσουμε το χτύπημα ρίχνουμε σταδιακά το χυμό των λεμονιών και λίγο από το ζωμό. Αφού ετοιμάσουμε το αυγολέμονο το ρίχνουμε στην κατσαρόλα. Ανακατεύουμε και η σούπα μας είναι έτοιμη.